Mathematicians Are Overselling the Idea That "Math is Everywhere"

Most people never become mathematicians, but everyone has a stake in mathematics. Almost since the dawn of human civilization, societies have vested special authority in mathematical experts. The question of how and why the public should support elite mathematics remains as pertinent as ever, and in the last five centuries (especially the last two) it has been joined by the related question of what mathematics most members of the public should know.

Why does mathematics matter to society at large? Listen to mathematicians, policymakers, and educators and the answer seems unanimous: mathematics is everywhere, therefore everyone should care about it. Books and articles abound with examples of the math that their authors claim is hidden in every facet of everyday life or unlocks powerful truths and technologies that shape the fates of individuals and nations. Take math professor Jordan Ellenberg, author of the bestselling bookHow Not to Be Wrong, who asserts “you can find math everywhere you look.”

To be sure, numbers and measurement figure regularly in most people’s lives, but this risks conflating basic numeracy with the kind of math that most affects your life. When we talk about math in public policy, especially the public’s investment in mathematical training and research, we are not talking about simple sums and measures. For most of its history, the mathematics that makes the most difference to society has been the province of the exceptional few. Societies have valued and cultivated math not because it is everywhere and for everyone but because it is difficult and exclusive. Recognizing that math has elitism built into its historical core, rather than pretending it is hidden all around us, furnishes a more realistic understanding of how math fits into society and can help the public demand a more responsible and inclusive discipline.

In the first agricultural societies in the cradle of civilization, math connected the heavens and the earth. Priests used astronomical calculations to mark the seasons and interpret divine will, and their special command of mathematics gave them power and privilege in their societies. As early economies grew larger and more complex, merchants and craftsmen incorporated more and more basic mathematics into their work, but for them mathematics was a trick of the trade rather than a public good. For millennia, advanced math remained the concern of the well-off, as either a philosophical pastime or a means to assert special authority.

The first relatively widespread suggestions that anything beyond simple practical math ought to have a wider reach date to what historians call the Early Modern period, beginning around five centuries ago, when many of our modern social structures and institutions started to take shape. Just as Martin Luther and other early Protestants began to insist that Scripture should be available to the masses in their own languages, scientific writers like Welsh polymath Robert Recorde used the relatively new technology of the printing press to promote math for the people. Recorde’s 1543 English arithmetic textbook began with an argument that “no man can do any thing alone, and much less talk or bargain with another, but he shall still have to do with number” and that numbers’ uses were “unnumerable” (pun intended).

Far more influential and representative of this period, however, was Recorde’s contemporary John Dee, who used his mathematical reputation to gain a powerful position advising Queen Elizabeth I. Dee hewed so closely to the idea of math as a secret and privileged kind of knowledge that his detractors accused him of conjuring and other occult practices. In the seventeenth century’s Scientific Revolution, the new promoters of an experimental science that was (at least in principle) open to any observer were suspicious of mathematical arguments as inaccessible, tending to shut down diverse perspectives with a false sense of certainty. During the eighteenth-century Enlightenment, by contrast, the savants of the French Academy of Sciences parlayed their mastery of difficult mathematics into a special place of authority in public life, weighing in on philosophical debates and civic affairs alike while closing their ranks to women, minorities, and the lower social classes.

Societies across the world were transformed in the nineteenth century by wave after wave of political and economic revolution, but the French model of privileged mathematical expertise in service to the state endured. The difference was in who got to be part of that mathematical elite. Being born into the right family continued to help, but in the wake of the French Revolution successive governments also took a greater interest in primary and secondary education, and strong performance in examinations could help some students rise despite their lower birth. Political and military leaders received a uniform education in advanced mathematics at a few distinguished academies which prepared them to tackle the specialized problems of modern states, and this French model of state involvement in mass education combined with special mathematical training for the very best found imitators across Europe and even across the Atlantic. Even while basic math reached more and more people through mass education, math remained something special that set the elite apart. More people could potentially become elites, but math was definitely not for everyone.

Entering the twentieth century, the system of channeling students through elite training continued to gain importance across the Western world, but mathematics itself became less central to that training. Partly this reflected the changing priorities of government, but partly it was a matter of advanced mathematics leaving the problems of government behind. Where once Enlightenment mathematicians counted practical and technological questions alongside their more philosophical inquiries, later modern mathematicians turned increasingly to forbiddingly abstract theories without the pretense of addressing worldly matters directly.

The next turning point, which continues in many ways to define the relations between math and society today, was World War II. Fighting a war on that scale, the major combatants encountered new problems in logistics, weapons design and use, and other areas that mathematicians proved especially capable of solving. It wasn’t that the most advanced mathematics suddenly got more practical, but that states found new uses for those with advanced mathematical training and mathematicians found new ways to appeal to states for support. After the war, mathematicians won substantial support from the United States and other governments on the premise that regardless of whether their peacetime research was useful, they now had proof that highly trained mathematicians would be needed in the next war.

Some of those wartime activities continue to occupy mathematical professionals, both in and beyond the state—from security scientists and code-breakers at technology companies and the NSA to operations researchers optimizing factories and supply chains across the global economy. Postwar electronic computing offered another area where mathematicians became essential. In all of these areas, it is the special mathematical advances of an elite few that motivate the public investments mathematicians continue to receive today. It would be great if everyone were confident with numbers, could write a computer program, and evaluate statistical evidence, and these are all important aims for primary and secondary education. But we should not confuse these with the main goals and rationales of public support for mathematics, which have always been about math at the top rather than math for everyone.

Imagining math to be everywhere makes it all too easy to ignore the very real politics of who gets to be part of the mathematical elite that really count—for technology, security, and economics, for the last war and the next one. Instead, if we see that this kind of mathematics has historically been built by and for the very few, we are called to ask who gets to be part of that few and what are the responsibilities that come with their expertise. We have to recognize that elite mathematics today, while much more inclusive than it was one or five or fifty centuries ago, remains a discipline that vests special authority in those who, by virtue of gender, race, and class, are often already among our society’s most powerful. If math were really everywhere, it would already belong to everyone equally. But when it comes to accessing and supporting math, there is much work to be done. Math isn’t everywhere.

The views expressed are those of the author(s) and are not necessarily those of Scientific American.

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ABOUT THE AUTHOR(S)

Michael J. Barany

Michael J. Barany is a historian of mathematics. He will be a member Dartmouth College's Society of Fellows starting in September, 2016

How Does a Mathematician's Brain Differ from That of a Mere Mortal?

Getty Images/Hemera (MARS)

Alan Turing, Albert Einstein, Stephen Hawking, John Nash—these “beautiful” minds never fail to enchant the public, but they also remain somewhat elusive. How do some people progress from being able to perform basic arithmetic to grasping advanced mathematical concepts and thinking at levels of abstraction that baffle the rest of the population? Neuroscience has now begun to pin down whether the brain of a math wiz somehow takes conceptual thinking to another level.

Specifically, scientists have long debated whether the basis of high-level mathematical thought is tied to the brain’s language-processing centers—that thinking at such a level of abstraction requires linguistic representation and an understanding of syntax—or to independent regions associated with number and spatial reasoning. In a study published this week in Proceedings of the National Academy of Sciences, a pair of researchers at the INSERM–CEA Cognitive Neuroimaging Unitin France reported that the brain areas involved in math are different from those engaged in equally complex nonmathematical thinking.

The team used functional magnetic resonance imaging (fMRI) to scan the brains of 15 professional mathematicians and 15 nonmathematicians of the same academic standing. While in the scanner the subjects listened to a series of 72 high-level mathematical statements, divided evenly among algebra, analysis, geometry and topology, as well as 18 high-level nonmathematical (mostly historical) statements. They had four seconds to reflect on each proposition and determine whether it was true, false or meaningless.

The researchers found that in the mathematicians only, listening to math-related statements activated a network involving bilateral intraparietal, dorsal prefrontal, and inferior temporal regions of the brain. This circuitry is usually not associated with areas involved in language processing and semantics, which were activated in both mathematicians and nonmathematicians when they were presented with the nonmathematical statements. “On the contrary,” says study co-author and graduate student Marie Amalric, “our results show that high-level mathematical reflection recycles brain regions associated with an evolutionarily ancient knowledge of number and space.”

Previous research has found that these nonlinguistic areas are active when performing rudimentary arithmetic calculations and even simply seeing numbers on a page, suggesting a link between advanced and basic mathematical thinking. In fact, co-author Stanislas Dehaene, director of the Cognitive Neuroimaging Unit and experimental psychologist, has studied how humans (and even some animal species) are born with an intuitive sense of numbers—of quantity and arithmetic manipulation—closely related to spatial representation. How the connection between a hardwired “number sense” and higher-level math is formed, however, remains unknown. This work raises the intriguing question of whether an innate capability to recognize different quantities—that two pieces of fruit are greater than one—is the biological foundation on which can be built the capacity to master group theory. “It would be interesting to investigate the causal chain between lower-level and higher-level mathematical competency,” says Daniel Ansari, a cognitive neuroscientist at the University of Western Ontario who did not participate in the study. “Most of us master basic arithmetic, so we’re already recruiting these brain regions, but only a fraction of us go on to do high-level math. We don’t yet know whether becoming a mathematical expert changes the way you do arithmetic or whether learning arithmetic lays out the foundation for acquiring higher-level mathematical concepts.”

Ansari suggests that a training study, in which nonmathematicians are taught advanced mathematical concepts, could provide a better understanding of these connections and how they form. Moreover, achieving expertise in mathematics may affect neuronal circuitry in other ways. Amalric’s study found that mathematicians had reduced activity in the visual areas of the brain involved in facial processing. This could mean that the neural resources required to grasp and work with certain math concepts may undercut—or “use up”—some of the brain’s other capacities. Although additional studies are needed to determine whether mathematicians actually do process faces differently, the researchers hope to gain further insight into the effects that expertise has on how the brain is organized.

“We can start to investigate where exceptional abilities come from, and the neurobiological correlates of such high-level expertise,” Ansari says. “I just think it’s great that we now have the capability to use brain imaging to answer these deep questions about the complexity of human abilities.”

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Jordana Cepelewicz

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Raio X da mente

Um dos maiores problemas da psiquiatria é a escassez de exames para o diagnóstico. Se você suspeita ter quebrado a perna, o ortopedista pedirá imediatamente um exame de raios X. Se tem febre e dores, o clínico geral buscará num hemograma dicas sobre uma possível infecção. Já o psiquiatra tem o desafio de diagnosticar enfermidades invisíveis a não ser pelos sintomas comportamentais que os pacientes exibem.

1. 

E é aí que a porca torce o rabo, pois doenças bastante diferentes podem se expressar por meio de sintomas parecidos. Uma pessoa que dá entrada em um serviço psiquiátrico apresentando delírios e alucinações pode estar acometida de desordens tão distintas quanto a esquizofrenia ou o transtorno bipolar do humor. Nem a eletroencefalografia nem a imagem por ressonância magnética dirão de qual das duas se trata. Exames genéticos podem oferecer pistas, mas nada definitivo virá dessa informação. O estado do paciente psicótico é definido a cada instante por perturbações ainda excessivamente sutis para nossas lentes de investigação, por mais sofisticadas que sejam.

Como ainda não existe um mapeamento claro entre distintas causas biológicas e respectivas formas de psicose, resta ao psiquiatra aplicar questionários e escalas subjetivas, escutar o mais atentamente possível, consultar colegas e, finalmente, apresentar um diagnóstico preliminar. Em geral, o diagnóstico definitivo só é dado seis meses após o primeiro surto psicótico. Muitas vezes esse diagnóstico é revisto e o período de tratamento equivocado precisa ser encarado como uma fatalidade.

Uma alternativa para lidar com esse problema é esmiuçar matematicamente os sintomas exibidos pelos pacientes, buscando diferenças confiáveis entre psicoses de distintos tipos. Nos últimos anos, junto com a psiquiatra e doutoranda Natália Mota e o físico Mauro Copelli, professor da Universidade Federal de Pernambuco, tenho vivenciado a descoberta de que a quantificação da estrutura da fala dos pacientes permite realizar o diagnóstico diferencial da psicose com grande acurácia.

Esse é um dos problemas nos quais o Centro de Pesquisa, Inovação e Difusão em Neuromatemática, da Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de São Paulo (Fapesp), do qual participo, vem fazendo avanços. Uma colaboração nossa com pesquisadores da Universidade Columbia, do Instituto Psiquiátrico do Estado de Nova York, do Centro de Pesquisa T. J. Watson, da IBM, e da Universidade de Buenos Aires mostrou que uma análise computacional do conteúdo semântico de entrevistas psiquiátricas permite prever o início da psicose em jovens de alto risco.

Esse resultado, recém-aceito para publicação no periódico NPJ Schiz-ophrenia, aponta na direção da combinação de análises estruturais e semânticas para realizar diagnósticos diferenciais muito mais sensíveis à forma e ao conteúdo dos sintomas, permitindo a identificação precoce das doenças e o acompanhamento quantitativo do tratamento.

Longe de substituir o julgamento do médico, o advento de exames objetivos promete aprimorar a clínica psiquiátrica e dar foco à pesquisa sobre as bases biológicas das doenças mentais. Para além de qualquer viés subjetivo, um mergulho matemático na mente.

Este artigo foi originalmente publicado na edição de Agosto de Mente e Cérebro, disponível na Loja Segmento: http://bit.ly/1ORuiNB

Pesquisadores estabelecem a primeira teoria matemática do humor

É possível matematizar algo tão complexo e pessoal quanto o humor? Pesquisadores da Universidade de Alberta, no Canadá, conseguiram. Seus resultados foram publicados no Journal of Memory and Language.

De acordo com o professor de psicologia Chris Westbury, principal autor do estudo, essa é a primeira pesquisa a criar uma teoria quantificável do humor.

A ideia nasceu de uma pesquisa anterior na qual participantes foram convidados a avaliar sequências de letras e determinar se elas eram palavras reais ou não. Westbury começou a notar uma tendência: os participantes riam quando ouviam palavras inventadas, como “snunkoople”.

Isso levantou a dúvida: como uma palavra pode ser inerentemente engraçada?

O efeito snunkoople

Westbury surgiu com a hipótese de que a resposta estava na entropia – uma medida matemática que pode indicar quão ordenada ou previsível uma palavra é.

Combinações de letras incomuns, como “finglam”, são mais baixas em entropia do que outras palavras inventadas, como “clester”, que têm combinações mais prováveis.

“Essencialmente se resume à probabilidade das letras individuais. Portanto, se você olhar para uma palavra como ‘yuzz-a-ma-tuzz’ e calcular sua entropia, vai descobrir que é uma palavra de baixa entropia porque tem letras improváveis, como Z”, explica Westbury.

Inspirado pelas reações a snunkoople, Westbury decidiu determinar se era possível prever que palavras as pessoas achariam mais engraçadas, utilizando a entropia como referência.

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As descobertas

Na primeira parte do estudo, os participantes foram solicitados a comparar duas palavras inventadas e selecionar a opção que consideravam mais bem-humorada. Na segunda parte, viram uma única palavra que não existia e a classificaram em uma escala de 1 a 100, com 100 sendo muito engraçada.

“Os resultados mostram que, quanto maior a diferença de entropia entre as duas palavras, mais provável os participantes eram de escolher a com menor entropia”, afirmou Westbury.

Os participantes escolheram a palavra esperada pelo pesquisador 92% das vezes. “Ser capaz de prever com esse nível de precisão é incrível. Quase nunca em psicologia você prevê o que alguém vai escolher 92% do tempo”, conclui.

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O humor é uma mensagem

Esta resposta quase universal diz muito sobre a natureza do humor e seu papel na evolução humana.

Westbury refere-se a um conhecido estudo de linguística feito em 1929 por Wolfgang Köhler, no qual os participantes viram duas formas geométricas, uma espetada e uma arredondada, e foram convidados a identificar qual era um “baluba” e qual era um “takete”, palavras inventadas. Quase todos os entrevistados intuíram que takete era o objeto pontiagudo, o que sugere um mapeamento comum entre os sons da fala e a forma visual de objetos.

As razões para isto podem ser evolutivas. “Nós pensávamos que o humor era pessoal, mas os psicólogos evolucionistas têm indicado que o humor é um dispositivo de envio de mensagem. Se você ri, você deixa alguém saber que algo não é perigoso”, argumenta Westbury.

Violação de expectativa

A ideia de entropia como um preditor de humor alinha com uma teoria do século 19 do filósofo alemão Arthur Schopenhauer, que propôs que o humor é o resultado de uma violação de expectativa, ao contrário de uma teoria anterior de que o humor era baseado simplesmente na improbabilidade.

Quando se trata de humor, as expectativas podem ser violadas de diversas maneiras. No caso de palavras inventadas, as expectativas são fonológicas (nós esperamos que sejam pronunciadas de uma certa maneira), enquanto que em trocadilhos, por exemplo, as expectativas são semânticas – os trocadilhos violam nossa expectativa de que uma palavra tem um certo significado.

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O estudo não tem implicações na vida real, para comediantes de stand-up, uma vez que palavras idiotas inventadas não são boas piadas, mas os resultados podem ser úteis em aplicações comerciais, como na nomenclatura de produtos. “Por exemplo, as pessoas podem ser avessas a comprar um medicamento com nome engraçado para uma doença grave”, exemplifica Westbury. [Phys]

Estimación del tiempo de iluminación solar sobre la tierra mediante un modelo analítico: un escenario fértil para enseñar física

Estimation of solar illumination time on the earth by an analytical model: a fertile scenery for to teach physics

Paco Talero^{I, III, 1}; Fernanda Santana^II; César Mora^III

^IGrupo Física y Matemática, Departamento de Ciencias Naturales, Universidad Central, Bogotá D.C., Colombia
^IIObservatorio Astronómico Nacional de Colombia, Universidad Nacional de Colombia, Bogotá D.C., Colombia
^IIICentro de Investigación en Ciencia Aplicada y Tecnología Avanzada del Instituto Politécnico Nacional,México D.F

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RESUMEN

Se formuló un modelo analítico que permitió estimar el tiempo de iluminación solar sobre la Tierra para cualquier fecha del año y cualquier latitud, el modelo tomó la oblicuidad de la eclíptica constante, los rayos de luz paralelos, la Tierra esférica y el movimiento de la Tierra circular uniforme, también mostró un contexto de la astronomía para enseñar física básica. Se relacionó el movimiento de la Tierra alrededor del Sol con el movimiento del plano de luz proyectado sobre la Tierra, luego se dedujo la zona iluminada para una latitud dada y se calculó el tiempo de iluminación mediante el movimiento circular uniforme de rotación terrestre. El modelo se confrontó con resultados numéricos de la Geoscience Australia Agency hallando como error porcentual máximo 1,6¢, el cual se atribuyó principalmente a la discrepancia entre la trayectoria real elíptica y la trayectoria circular tomada en este modelo. Así, sin hacer uso de la trigonometría esférica se obtuvo un modelo analítico que explica de manera muy aproximada el tiempo de iluminación solar en cualquier época del año y para cualquier latitud, el modelo brinda un contexto auténtico para estudiar algunos aspectos de la física básica.

Palabras-clave: modelo, astronomía, enseñanza de la física, métodos de enseñanza.

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ABSTRACT

We proposed an analytical model for the calculus of illumination time of the Earth for any time of year and any latitude. This model assumes the obliquity of the ecliptic as constant, the light beams as parallels, the Earth as spherical, the movement of translation of Earth as uniform circular. Also, this model showed a context of the astronomy whereby the teachers can teach the basic physics. It was built through a relationship between the movement of translation and of rotation of the wave front light, then we found the illumination zone on the Earth, and the illumination time is estimated in a particular latitude with the uniform circular movement of Earth. The present model was confronted with the numerical results of the Geoscience Australia Agency and it is found a maximum percent error of 1,6%, which was due primarily to the difference between the circular trajectory, in this model, and the real elliptical trajectory. Without the use of spherical trigonometry, it was obtained an analytical model that estimates very close the solar illumination time at any time of the year and at any latitude on Earth. This model provides an authentic context for studying basic aspects of physics.

Keywords: model, astronomy, physics education, teaching methods.

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1. Introducción

Recientes investigaciones en enseñanza de la física han venido mostrando que la astronomía trae consigo contextos auténticos de alta motivación en los estudiantes que han permitido desarrollar diversos contenidos físicos a diferentes niveles de formación, tales contextos abarcan tópicos como la Tierra, la escala del sistema solar, la determinación de distancias a los planetas y a las estrellas, la ley de Hubble, la ley de Wien y las curvas de rotación en galaxias espirales, entre otros [1 - 11]. Así mismo, estos contextos han permitido introducir contenidos físicos tales como dinámica, cinemática y óptica. En Ref.[2] se muestra la experiencia de buscar planetas extrasolares a través de la adquisición de datos propios mediante el control remoto de un telescopio diseñado para tal fin; en Ref. [3] se expone un estudio que revela algunas ideas erróneas sobre la trayectoria de los planetas alrededor del sol; en Refs. [4, 5]se estudia el movimiento planetario a través de experimentos virtuales con base en argumentos físicos elementales e intuitivos que permiten desarrollar discusión sobre la ley de gravitación, la tercera ley de Kepler y métodos numéricos de implementación simple; en Ref. [7] se estudian curvas de rotación en galaxias espirales; en Ref. [8] se muestra como obtener la excentricidad de la órbita terrestre usando, principalmente, las leyes de Kepler y un instrumento de observación sencillo; en Ref. [9] se repasan algunos métodos geométricos mediante los cuales se estima las distancias Tierra-Luna y Tierra-Sol, así como los diámetros del Sol y la Luna en relación al radio de la Tierra; en Ref.[10] se aprovecha el contexto de la ley de Hubble para promover la habilidad de la interpretación conceptual en gráficas de velocidad contra distancia y en Ref. [11] se muestra como una presentación desde la estadística de fotones de la ley de radiación de cuerpo negro es más eficaz, desde el punto de vista pedagógico, que el tratamiento tradicional que se hace generalmente en los libros de texto.

Dentro del contexto anterior, este trabajo muestra como el fenómeno cotidiano del día y la noche puede usarse para estudiar aspectos básicos de física como factores de conversión, movimiento circular uniforme (MCU) y óptica de rayos. El problema concreto de estudio consiste en responder la pregunta: ¿es posible estimar mediante un modelo analítico basado en conceptos físicos elementales el tiempo de iluminación solar sobre la Tierra para cualquier fecha del año y en cualquier latitud? Para responder esta pregunta se desarrolla un modelo analítico que deja de lado algunos hechos astrofísicos que no son relevantes durante el transcurso de pocos años, así las características del modelo son la siguientes: toma en cuenta la corrección estándar de la refracción de la luz por la atmósfera y el tiempo diario de iluminación debido al movimiento de traslación de la Tierra alrededor del Sol; desprecia los efectos tanto de precesión como de nutación; considera la Tierra completamente esférica; asume el movimiento de traslación como un MCU y toma los rayos de luz solar paralelos.

Para la formulación del modelo se establece el sistema de referencia inercial con uno de sus ejes paralelo al eje de rotación de la Tierra (considerado estático respecto a las estrellas fijas) y los demás ejes también anclados a estrellas fijas. Ahora, se establece un vínculo entre el MCU de la Tierra alrededor del Sol y el movimiento del frente de onda plano de luz solar el cual gira sobre la esfera terrestre, luego se delimita la zona de la Tierra iluminada en cualquier fecha del año a una latitud arbitraria y se aplican conceptos de cinemática del MCU de rotación de la Tierra para calcular el tiempo que un punto terrestre estaría iluminado. Mediante las ecuaciones obtenidas es posible conocer de manera muy aproximada el tiempo de iluminación para una fecha particular del año en todo el mundo, conocer la fecha de ocurrencia del Sol de media noche para cualquier latitud y mostrar diagramas de simetría útiles a la hora de interpretar hechos físicos mediante la lectura de gráficos.

El modelo permite realizar análisis gráfico del tiempo de iluminación durante un año para una latitud determinada, estas gráficas permiten realizar una confrontación sencilla del modelo con resultados numéricos obtenidos de simulaciones que toman en cuenta los efectos de otros fenómenos astrofísicos en particular de la trayectoria elíptica de la Tierra, al confrontar el modelo con los resultados arrojados en el simulador de la Geoscience Australia Agency se halla un error porcentual máximo en la gráfica mencionada muy cercano a 1,6% error que se atribuye fundamentalmente, y de acuerdo con la tercera ley de Kepler, a la diferencia entre las trayectorias elíptica y circular.

Este trabajo muestra, sin hacer uso de la trigonometría esférica, una manera de pensar físicamente sobre el hecho cotidiano de la noche y el día, a través de un modelo analítico basado fundamentalmente en MCU que a través de sus resultados permite explicar de manera muy aproximada el tiempo de iluminación solar en cualquier época del año y para cualquier latitud, el modelo deja un escenario cautivante dentro de la astronomía para estudiar algunos aspectos básicos de la física como el MCU y la óptica de rayos paralelos.

Este artículo está organizado de manera siguiente: en la sección (2) se deduce el tiempo de iluminación terrestre de acuerdo con lo planteado anteriormente, en la sección (3) se hacen correcciones por traslación y refracción, en la sección (4) se comparan los resultados del modelo con resultados numéricos, en la sección (5) se proponen algunas estrategias didácticas para poner en práctica los resultados de este modelo y en la sección (6) se muestran las conclusiones.

2. Tiempo de iluminación solar sobre la Tierra

Se sabe que debido a la rotación de la Tierra sobre su propio eje esta no posee una geometría que corresponda por completo a una esfera sino más bien a un elipsoide [12 - 14]. Debido a la geometría elipsoidal de la Tierra y a la interacción gravitacional con la Luna, el Sol y los demás cuerpo celestes que componen el sistema solar el movimiento de traslación y rotación terrestre varia respecto a lo que se espera del estudio de un sistema Sol- Tierra completamente aislado. Sin embargo, estos efectos no se toman en cuenta en este trabajo debido a que sus efectos son despreciables durante el transcurso de un año[13, 15].

A lo anterior se añade que la luz solar se toma con la aproximación de rayos paralelos, esto a causa de que observaciones bien establecidas muestran una desviación del paralelismo de aproximadamente 0, 5◦,que es producida por la refracción de la luz al atravesar la atmósfera[16].

En la Fig. 1 se muestra un corte meridional de la Tierra paralelo a los rayos de luz provenientes del Sol para el solsticio de invierno en el hemisferio norte, se observa que el ángulo Є formado entre el plano M del frente de onda de la luz solar y el eje de rotación de la Tierra L es la oblicuidad de la eclíptica (ángulo formado por el eje de rotación de la Tierra y una perpendicular al plano orbital). Esto implica que un observador en la superficie de la Tierra a una latitud  tendrá una trayectoria circular con radio , una velocidad angular  y un periodo de rotación  que corresponden a la velocidad angular y al periodo de rotación terrestre como muestra laFig. 1. Así mismo, de la Fig. 1 se puede obtener las Ecs.

Figura 1 - Corte meridional de la Tierra paralelo a los rayos de luz provenientes del Sol para el solsticio de invierno en el hemisferio norte.

donde  y

Al eliminar h de (1) y (2) se obtiene

En la Fig. 2 se observa la Tierra aún en solsticio de invierno vista desde el polo norte terrestre (PNT), se observa que la zona iluminada es el arco de circunferencia  con ángulo  y radio . Además, la geometría evidenciada que el ángulo  se puede expresar como , lo cual permite expresar con ayuda de (3) el ángulo  a través de la Ec.

Figura 2 - Corte de la Tierra a latitud  vista desde PNT.

Ahora, si se supone que el plano M no rota significativamente al rededor del punto p durante una revolución terrestre el tiempo de iluminación t_D en el solsticio se puede obtener al calcular el tiempo que un observador sobre la superficie terrestre tarda en barrer el ángulo  con velocidad angular , siendo . Así se obtiene

El tiempo  que el observador permanece en la zona no iluminada se puede calcular a partir de (5) y es simplemente .

Al tomar como origen de tiempo el solsticio de invierno en el hemisferio norte la traslación de la Tierra alrededor del Sol se ve reflejada en la rotación del plano M alrededor del punto p, ver Fig. 3. Si se considera el movimiento de traslación como un MCU con velocidad angular  entonces el plano M girará sobre p barriendo un ángulo a partir de la posición inicial, como muestra la Fig. 3.

Figura 3 - Posición angular del plano M en tiempo t.

Nótese en la Fig. 3 que el triángulo  es isósceles y por lo tanto al usar la suma de ángulos internos se tiene , al aplicar el teorema del seno al triángulo  se encuentra  y usar la Ec. (3) se encuentra

Si se considera la traslación de la Tierra alrededor del Sol como un MCU con , se desprecia la rotación del plano M del frente de onda de la luz solar y también se desprecia la refracción de la luz por la atmósfera la Ec. (6) permite estimar el tiempo de luz solar durante una revolución de la Tierra para cualquier fecha del año y cualquier latitud. Además, aunque (6) está dada en radianes se puede expresar también en grados como

con

donde t se mide en días (d).

Por otra parte, es de resaltar que la Ec. (6) tiene sentido sólo si se cumple la condición

para que pueda evaluarse la función arcocoseno. Esta condición demarca la latitud máxima  que puede ser evaluada en (6) de acuerdo con el tiempo t transcurrido. Así, de acuerdo con (9) se tiene para la máxima latitud la Ec.

que demarca el comienzo de Sol de media noche y la noche polar, esto sin tomar en cuenta el Leve incremento en el tiempo de iluminación debido a refracción de la luz y traslación de la Tierra.

3. Corrección de t_D por traslación y refracción

Durante una revolución de la Tierra sobre su eje el plano M no permanece en reposo, como se supuso, sino que rota un poco alrededor del punto p. En la Fig. 4 se muestra el ángulo de la zona iluminada inicial , es decir justo cuando un observador sobre la superficie terrestre llega al punto A y se muestra también un ángulo  de la zona iluminada cuando el mismo observador justo alcanza el plano M por su otro extremo en el punto D. De acuerdo con esto el observador barre un ángulo  adicional, que es preciso calcular para determinar el tiempo adicional de iluminación.

Figura 4 - Zonas iluminadas al principio y al final de una fracción de revolución terrestre.

En la Fig. 4 se observa la relación entre los ángulos 

donde el tiempo  se refiere al tiempo transcurrido desde que un observador ligado a la Tierra con latitud coincide con el plano de M en el punto A hasta que nuevamente coincide en el tiempo , siendo t el tiempo transcurrido desde el solsticio de invierno en el hemisferio norte hasta que observador y plano coinciden en el punto D.

Igualmente en la Fig. 4 se puede observar también que el ángulo  adicional que barre el observador está relacionado con los ángulos  mediante

Además, de los triángulos  se encuentran las relaciones

Ahora, al combinar las Ecs. (11), (12), (13) y (14) se encuentra

donde  con

Cuando la Tierra gira alrededor del Sol la zona iluminada cambia de  a  lo que implica que un observador que coincidida con el plano de luz inicialmente en A barre un arco  y emplea un tiempo  que se concreta justo cuando el observador alcanza el plano de luz en D. De manera que

siendo  el tiempo que el observador está iluminado. Ahora, como t_D el tiempo que el observador está iluminado cuando no se toma en cuenta la pequeña traslación que la Tierra sufre mientras hace una revolución sobre su eje  es el tiempo adicional de iluminación que debe soportar el observador si se toma en cuenta esta pequeña traslación.

Para calcular  se reemplaza la Ec. (15) en (17) y se encuentra

En (18) se espera que  dado que , lo que sugiere hacer una expansión en serie de Taylor de  alrededor de 0 y tomar la aproximación con los primeros dos términos de la serie, así se obtiene

con

que también cumple la condición (9) y los términos de coseno y seno junto con los ordenes de magnitud garantizan que (20) siempre permanece finito y menor que .

Para encontrar la corrección por traslación  se reemplaza la Ec. (19) en (18), obteniendo

lo que conduce a

que es la correción por traslación buscada y resulta ser de .

De otro lado, se sabe que cuando los rayos de luz penetran en la atmósfera sufren refracción que aumenta el tiempo de iluminación, así en la Fig. 2 los rayos de luz paralelos a la semirecta  que llegan tanto al punto Acomo al B convergen un poco hacia el punto q. De esta manera un observador comienza a ser iluminado un poco antes de llegar al punto A y sigue un poco iluminado después de pasar por el punto B. En la literatura suele tomarse la porción de ángulo que barre un observador bajo los efectos de la luz refractada como [14, 17] . De lo anterior se entiende que este fenómeno genera un tiempo adicional de iluminación dado por , que es aproximadamente .

De acuerdo con las anteriores consideraciones la Ec. (6) toman la forma

4. Modelo vs. resultados numéricos

De los datos numéricos ofrecidos por la simulación de la Geoscience Australia Agency puede obtenerse resultados que calculan el tiempo que un observador permanece iluminado durante una revolución de la Tierra. Los aspectos más relevantes para la confrontación del modelo analítico que toma en cuenta el modelo numérico de Geoscience Australia Agency son la trayectoria elíptica de la Tierra alrededor del Sol y la refracción estándar de la luz debida a la atmósfera [17].

El carácter periódico de la Ec. (23) permite establecer el origen de tiempos ya sea en solsticio o en equinoccio sin mayores inconvenientes. Así, en la Fig. (5) se muestra el tiempo de iluminación t_D en minutos como función del tiempo t transcurrido en días desde el comienzo del solsticio de verano de 2009 hasta justo el comienzo del solsticio de verano de 2010, se observa mayor diferencia entre los tiempos obtenidos con la simulación y el modelo analítico alrededor de los primeros días de enero época del año en la cual la Tierra está cerca al perihelio [18]. Por el contrario se observa un buen acuerdo a mediados de junio época del año en que la Tierra está cerca a su afélio [19].

Figura 5 - Modelo analítico con MCU vs simulación para  y  entre el 21 de junio de 2009 y el 21 de junio de 2010.

La tercera ley de Kepler implica que cuando la Tierra se encuentra en el perihelio su rapidez es mayor que cuando se encuentra en el afelio lo que trae como consecuencia que el tiempo adicional de iluminación por incremento de traslación aumente ya que el plano M de la Fig. 1 se mueve más rápido sobre el punto q y por tanto un observador sobre la Tierra tarda más tiempo en alcanzar el plano de luz solar. Por el contrario cuando la Tierra se encuentra en el afelio el plano M se mueve más lento produciendo que el tiempo adicional de iluminación por traslación sea menor. Consecuentemente en cecanias del perihelio la simulación muestra resultados alejados del modelo analítico de trayectoria circular que corresponde a unos  que trae consigo un error relativo porcentual de .

De otro lado la Fig. (6) muestra en el solsticio de invierno el tiempo de iluminación para diferentes latitudes, se observa un muy buen acuerdo entre el modelo simulado y el modelo analítico.

Figura 6 - Modelo analítico con MCU vs modelo numérico para el solsticio de invierno en el hemisferio norte.

Diversas comparaciones entre el modelo analítico y la simulación arrojan resultados similares. Así, el modelo analítico da cuenta de manera cercana y con un mecanismo físico de explicación al tiempo de iluminación solar en cualquier tiempo del año y en cualquier lugar de la Tierra.

5. Algunas sugerencias didácticas

De acuerdo con los resultados obtenidos la Ec. (23) permite estimar el tiempo de iluminación para una fecha particular del año y para un lugar particular en la Tierra caracterizado por su latitud, tomando correcciones por refracción y traslación. Con este resultado es posible atacar problemas de la vida cotidiana tales como la estimación del tiempo de iluminación solar en un país particular; apoyar una explicación física cuantitativa de las estaciones del año; ofrecer un espacio para conceptualizar el MCU ejemplificando a través de los movimientos de traslación y rotación de la Tierra; usar esquemas como el mostrado en la Fig. 3 para plantear una discusión sobre la refracción de la luz por la atmósfera; discutir los fenómenos del Sol de media noche y la noche polar, en tre otros. Así mismo, se pueden plantear situaciones en las cuales dada una fecha particular del año se pregunta por la duración de la iluminación en diferentes países y ofrecer explicación física de las diferencias presentadas.

Resulta particularmente interesante usar el modelo para estimar la fecha de inicio de los días y noches polares, para esto es necesario realizar análisis gráfico de la Ec. (10) que muestra la máxima latitud  que es posible evaluar en las Ecs. (5) y (23) como función del tiempo y que a su vez permite estudiar las zonas de la Tierra donde comienza el sol de media noche o la noche polar.

En la Fig. 7 se muestra la evolución de la latitud máxima con el transcurso del año para los hemisferios norte y sur, así por arriba de la línea de puntos oscuros habrá latitudes que están en noche polar para una fecha determinada del año y por debajo de la línea de puntos claros habrá latitudes en las cuales habrá día polar.

Figura 7 - Latitud para el Sol de media noche y la noche polar con el transcurso del año sin correcciones por refracción ni traslación.

6. Conclusiones

Se demostró que es posible formular un modelo analítico con base en la hipotesis de un MCU de la Tierra alrededor del Sol que permite estimar el tiempo de iluminación para un tiempo cualquiera después del solsticio de invierno en el hemisferio norte a cualquier latitud, que concuerda bien con el modelo numérico de la Geoscience Australia Agency y se realizaron correcciones por traslación y refracción siendo respectivamente de  y de , el modelo brinda un escenario rico en fenómenos terrestres relacionados con la astronomía que permiten estudiar algunos aspectos de la física básica.

Agradecimientos

Los autores agradecen a los profesores Fabian Galindo, Giovanni Cardona y Guillermo Avendaño por la lectura y las sugerencias realizadas sobre el manuscrito; al Departamento de Ciencias Naturales de la Universidad Central por el apoyo y el tiempo asignado a la investigación, al observatorio astronómico Nacional de Colombia y al CICATA del IPN de México por su continua colaboración.

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[20] http://ciencia.nasa.gov/science-at-nasa/2002/02jul_aphelion/, consultado el 4/18/2013.         [ Links ]